Учет налогообложения, естественно, снижает доходность облигаций. Также, учет налогообложения уменьшает текущую стоимость облигации.
Для бескупонных облигаций налогом облагается дисконт — разница между ценой продажи облигации и ценой покупки. Если Pl — цена покупки облигации, Р2 — цена продажи, то величина налога составит Ad • (P2 — P1), где Ad — ставка налога на дисконт (в деся
стр. 81
тичных долях). Для облигаций ГКО ставка налога составляла Ad = 15% . Стоимость бескупонной облигации в начальный момент ее владения связана со стоимостью в момент продажи соотношением:
Р = Р2 — Ad *(Р2 -р) (138)
1 (1 + i) , ( )
где t — время, прошедшее между покупкой и продажей облигации, i — доходность облигации за период владения.
Доходность бескупонной облигации с учетом налогообложения можно рассчитать по формуле:
/ =
( Р2 — Ad-[Р2 — Р1 ]Л1
Р1
-1. (139)
Простая доходность с учетом налогообложения для бескупонных облигаций определяется как
i =
пр
f Р2 — Ad -(Р2 — Р1 ) — Д1 . (140)
Р1
Если мы интересуемся доходностью бескупонных облигаций к погашению, то всюду в последних соотношениях следует положить Р2 = N .
Часто приходится решать обратную задачу — определение цены покупки облигации Р , обеспечивающей требуемую доходность к погашению. Искомую цену Р можно найти с помощью соотношения (138):
Р = N'(1~Ad) , (141)
(1 + i )n — Ad ‘ ‘
t
где n — срок облигации.
Ту же задачу можно решить с помощью простой доходности:
N ‘(1 — Ad) , (142)
Р =
1 + n ‘ iпр — Ad
то есть, если известна простая доходность i , то текущая цена облигации, обеспечивающая требуемую доходность к погашению, определяется по формуле (142).
Для купонных облигаций отдельно облагается налогом дисконт (в настоящее время по ставке Лх = 35%) и накопленный купонный доход за период владения (в настоящее время по ставке A2 = 15% ). Дисконт в данном случае представляет собой разницу между
стр. 82
чистой ценой продажи и чистой ценой покупки облигации. Если облигация держится до погашения, то дисконт представляет собой разницу между номинальной стоимостью и чистой ценой покупки N — Р . Дисконт облагается налогом, если является положительной величиной.
Если облигация с постоянным купоном куплена не в начале купонного периода, то до
ближайшей выплаты купона купонный доход владельца составит — £. Налог с этой сум-
mT
мы равен a — ■—. В дальнейшем, с каждой купонной выплаты будет уплачен налог в раз-
m T
мере л —. При погашении облигации уплачивается налог с дисконта, равный Л1 ■ (N — Р).
m
Доходность к погашению i облигации с фиксированным купоном, таким образом, связана с чистой ценой в момент покупки Рс соотношением:
— — А — А.
Р + — ~ = m 2 m T +У— (1 — Л2) + N — А1’ (N — Р) (143)
с mT (1 + i) h m (1 + i) (1 + i) ‘ ‘ ‘
Напомним, что t — время, прошедшее с момента выплаты последнего купона (выражение в левой стороне (143) представляет собой грязную цену облигации), tk — время, оставшееся до выплаты к-го купона, tn — срок облигации, T — купонный период, всего до погашения облигации произведено n купонных выплат. Ставки налога Л1 и Л2 в соотношении (143) считаются десятичными.
Численное решение уравнения (143) относительно i приводит, очевидно, к заниженному значению доходности к погашению, чем в случае, когда налогообложение не учитывалось.
Можно так же, как в разделе 2.5, определить простую доходность с учетом налогообложения:
i = n’ — ‘(1 ~Л2) + (n~р)'(1 ~А1) ? (144)
п р П’Р
или
g’ (1 — Л2) + -‘ f1 -K |(1 — АО
100) ‘ » (145)
1п р k_
Обратно, если известна доходность, рассчитанная с помощью простого процента, то цена облигации, обеспечивающая требуемую доходность, может быть рассчитана как
Р = П’ — ‘(1 ~ Л2 ) + N'(1 ~ А1 ) . (146)
1 + П^пр — А1
стр. 83
С учетом используемых ставок налогообложения соотношения (145) и (146) можно переписать в виде:
0, 85 • g + 0,65 •1 -[ 1 -— |
. n У 100) , (147)
п р —
100
0, 85 • n • C + 0,65 • N /1 /1о\
P ———————————- . (148)
1 + n • inP — 0,35
Для облигаций с переменным купоном можно записать соотношение, аналогичное (143), связывающее доходность облигации к погашению с чистой ценой на момент покупки P :
с
P , C, ~ C’ A •C’ • T + h (1 — A)-Ct + N — a ‘ (n -P) (14D)
P m T — (1+i) + h (1+i) +—• ( )
где Ck — величины купонных выплат, производимых в моменты времени tk .
Последнее уравнение, также как и (143), в общем случае может быть решено только численно относительно доходности к погашению i.
Пример 73. Бескупонная облигация куплена по курсу 55, срок облигации 3,5 года. Рассчитать доходность облигации к погашению без учета налогообложения.
Какова доходность облигации с учетом налогообложения, если ставка налога на дисконт составляет 15% ?
Какова простая доходность облигации с учетом налогообложения?
Решение. Доходность к погашению без учета налогообложения рассчитывается в соответствии с (98):
1
i — | 100 j3 5 -1 — 0,1863 , или i=18,63 % .
Учет налогообложения при расчете доходности к погашению, а также простой доходности, производится с помощью соотношений (140), (143), в которых следует положить р — 55, P2 — N — 100, Ad — 0,15 , t=3,5:
1
100-0,15 •(100-55)137 .
———- ?—- i———— 1\ -1 — 0,1628, или i — 16,28%.
i —
55
z_„ — I 0,15 • (100 55) — Л — 0,1987, или inр — 19,87% .
100
‘пр_1……………….. 55…………………. V………… 3,5“”’™ ………………… пр
Как видим, разница между простой и сложной доходностью существенная.
стр. 84
Пример 74. Срок облигации с постоянным купоном равен 6 годам, купонный доход выплачивается один раз в году и составляет 250 руб., номинал облигации 1000 руб. Облигация приобретена по цене 910 руб.
Какова доходность облигации к погашению?
Какова доходность облигации с учетом налогообложения, если ставка налога на дисконт составляет 35%, а ставка на купонный доход равна 15% ?
Какова простая доходность облигации с учетом налогообложения?
Решение. Доходность к погашению без учета налогообложения находится с помощью уравнения (112): /=28,28% .
Доходность с учетом налогообложения находится как численное решение уравнения (143), которое с нашими данными выглядит как
Пример 75. По какой цене следует приобрести облигацию с постоянным доходом для того, чтобы простая доходность с учетом налогообложения составила 18%? Номинал облигации 2000 руб., годовой купонный доход составляет 400руб., срок до погашения 7 лет. Ставка налога на дисконт составляет 35%, а ставка на купонный доход равна 15%. Решение. Согласно (148):
3.2. Стабильность курса и риск. Дюрация
Чем больше срок облигации, тем выше риск неполучения доходов, поэтому облигации с большим сроком являются более рискованными, чем краткосрочные облигации. Однако, это не единственный вид риска, связанный с большим сроком облигации. Существует также риск колебания курса облигации. Чем больше срок облигации, тем менее стабильный курс, то есть небольшие изменения рыночной процентной ставки Ai могут приводить к существенным изменениям курса облигации AK.
С другой стороны, курс более стабилен для облигаций с высокими купонными выплатами. Существует величина, зависящая от срока облигации и величины купонных выплат, которая количественно связывает колебания рыночного курса с колебаниями рыночной процентной ставки. Эта величина называется дюрацией (duration — продолжительность). Дюрация D определяется как средневзвешенное (по дисконтированным доходам) время получения соответствующих доходов
mn (1 -0,15) 1000-0,35′(1000-910)
910 = > 250—г— п—I————————— г————————- тт————————— .
^ л , Лк л , ,Л6
Р = 0,85’7’400 + 0,65’2000
= 1 + 7′ 0,18 — 0,35
1926,70руб.
стр. 85
tk • Ck
X
tk • Ck
D —-
(1 + ,)tk -(1 + ,■)
X
C,,
p
(1+i)tk
(150)
где Ck — величины доходов (включая погашение номинала), полученных в моменты времени tk . Дюрация имеет размерность времени, то есть выражается в годах. Для бескупонных облигаций дюрация равна сроку облигации D=n. В остальных случаях выполняется неравенство D < n за счет купонных выплат.
Дюрация вычисляется для конкретной облигации исходя из ее параметров на определенный момент времени. Дюрация является качественной и количественной характеристикой рисков, связанных с колебаниями курса облигации (в то же время дюрация не имеет отношение к риску невыплат). Чем меньше дюрация, тем быстрее получается отдача от облигации и тем меньше риск неполучения доходов. Кроме того, справедливы следующие утверждения. Чем больше срок облигации, тем больше дюрация, и наоборот. Также, чем больше доходность, тем меньше дюрация.
Пусть рыночные процентные ставки изменились на величину А. Дюрация связывает колебания процентной ставки А с колебаниями курса облигации АК. Можно показать, что при небольших изменениях процентной ставки курс облигации изменится на величину
АК «-Fm • Ai (%)
(151)
MD • К
F —————-
M 100
MD —
D
1 + i
где Ai(%) — изменение доходности, выраженной в процентах. Величину Fm называют коэффициентом Маколея1 (или коэффициентом Маколи), а величину MD — модифицированной дюрацией.
Новый курс облигации Кнов (после изменения процентной ставки) отличается от старого К стар на величину, определяемую соотношением (151):
К нов — К ста р + А К . (152)
Знак минус в соотношении (151) возникает в соответствии с тем, что увеличение процентной ставки приводит к уменьшению курса, а увеличение процентной ставки приводит к его уменьшению.
Формула (151) описывает изменение курса облигации при небольших (на величину порядка 1-2%) изменениях доходности. Коэффициент Маколи равен абсолютному изменению курса облигации при изменении доходности на 1% (или, что то же самое, при изменении доходности на 100 пунктов; один пункт изменения доходности равен процента).
1 В несколько ином виде его называют также «критерий одна восьмая».
стр. 86
Например, если коэффициент Маколея равен 3,5 , курс равен 85, то при увеличении доходности облигации на 1% (например, с 14% до 15%) курс уменьшится на 3,5 и станет 85-3,5=81,5. Соотношение (151) показывает, что облигации с меньшей дюрацией обладают более стабильным курсом.
Приведенные выше выражения можно получить следующим образом. Продифференцируем цену облигации (95) по доходности:
dP
— = -MD^. (153)
di
Здесь доходность i выражена в десятичных единицах. Заменив приближенно dP « АР
^ а- ~ /л- Ai(%)
, di « Ai и перейдя к процентному выражению доходности ( Ai ^ 0 ), получим:
АР = _ №-Р-А/ (154)
100
что эквивалентно (151).
Можно также вместо (151) записать:
AK,-MD.А® , (155)
K 100
Это означает, что модифицированная дюрация равна относительному изменению курса облигации при изменении доходности на 1 пункт (на 110 процента). Например, рассмотрим облигацию с курсом 85 и модифицированной дюрацией 7,2 лет. Тогда при увеличении доходности облигации на 1% (на 100 пунктов, например, с 14% до 15%) курс
7 5
уменьшится на 7,2% относительно старого курса и станет 85—100’ 85 = 78,63 .
Ниже приведены параметры, характеризующие чувствительность аннуитетов (вечной ренты):
D = —, MD =1 , Fm = 4 . (156)
i i i
Относительное изменение курса аннуитета равно относительному изменению доходности:
f-f (157)
Анализируя зависимость дюрации от различных параметров, можно прийти к следующим выводам.
стр. 8 7
Облигации с низким купоном более чувствительны к изменениям процентной ставки (при том же сроке), чем облигации с высоким купоном.
Облигации с большим сроком более чувствительны, чем краткосрочные (при том же купоне).
С увеличением доходности дюрация (чувствительность) уменьшается.
Пример 76. Облигация с фиксированным купоном, равным 20% от номинала, куплена по курсу 90. Срок облигации 5 лет. Выплаты купонов происходят один раз в году. Найти доходность, дюрацию, модифицированную дюрацию и коэффициент Маколея.
Решение. Доходность облигации находится в результате численного решения уравнения (113), которое дает i = 23,61%. Дюрацию можно определить в соответствии с (150):
D — — 90
^ 20 „ 20 20 „20 , 120 ^
1———— + 2————— — + 3————— — + 4————— — + 5 •
1,2361 (1,2361)2 (1,2361)3 (1,2361)4 (1,2361)
— 3,51 лет.
1 51
MD — ——— — 2,84 года, FM — 2,56.
1,2361
Пример 77. В условиях предыдущего Примера найти курс облигации, если процентные ставки на рынке выросли до 25%.
Решение. В соответствии с (151)-(152), новый курс равен Кное * 90 — 2,56 • (25 — 23 ,61 ) — 86,44 .
Вычисления по формуле (113) приводят к точному значению:
(
К…. —100 •
0,2 •
1 — (1 + 0,25)- 025
(1 + 0,25)5
— 86,55 .
1
Пример 78. Курс британских консолей равен 55,60 , купон составляет 4% от номинала. Найти доходность, дюрацию, модифицированную дюрацию и коэффициент Маколея. Решение. Доходность облигации находится в соответствии с (108):
4
i ———— — 0,072 , или i — 7,2%.
55,60
Остальные параметры находятся согласно (156):
п 1 + 0,072 1 г 0,04
D ————— — 14,9 лет , MD ——————- — 13,9 лет , Fm — — 7,72 .
0, 072 0,072 M (0,072)2
3.3. Доходность портфеля облигаций
Инвестиции в ценные бумаги называют портфельными инвестициями. Портфель облигаций может содержать облигации с различными параметрами: доходностью, ценой, дюрацией.
Обозначим через Qm количество облигаций m -го вида в портфеле. Цена портфеля Pp
, очевидно, равна сумме цен всех облигаций, входящих в портфель. Поэтому, если цена m — ой облигации равна Pm , то цена портфеля
стр. 8 8
Рр = IPm■Qm . (158)
m
Обозначим через im , Dm соответственно доходность и дюрацию облигации m -го вида. Доходность портфеля ip приблизительно можно определить как средневзвешенную доходность всех облигаций по их денежному объему, то есть
1m Рш Qm
i *<i) = ^—р—————- . (159)
Р
Другая приближенная формула для доходности портфеля, которая в большинстве случаев дает лучшее приближение, получается в случае, если в качестве весов при усреднении берутся денежные объемы, умноженные на соответствующие дюрации:
1 ^ lm Pm Qm Dm
i * <i)D = -^———————— . (160)
D I Рт^т^т
Величину <i)D будем называть доходностью портфеля, средневзвешенной с учетом дюрации.
Аналогично можно определить средневзвешенную дюрацию портфеля:
I ^-Р,п^т
<D) = — р • (161)
Р
Отметим, что средневзвешенная дюрация <D) совпадает с точным значением дюрации портфеля Dp в случае, если доходности всех облигаций, входящих в портфель, одинаковы. В противном случае, средневзвешенная дюрация является приближением к точному значению, то есть Dp «<D).
Пример 79. Портфель облигаций содержит три вида облигаций и имеет следующую структуру:
а) 230 облигаций по цене 120руб., с доходностью 16,4%, дюрацией 5,6 лет;
б) 140 облигаций по цене 80руб. с доходностью 14,5%, дюрацией 3,2 года;
в) 120 облигаций по цене 115 руб., с доходностью 18,7%, дюрацией 10 лет.
Какова цена портфеля, средневзвешенная доходность портфеля, доходность, средневзвешенная с учетом дюрации, и средневзвешенная дюрация портфеля?
Решение. Цена портфеля
Рр = 230-120 +140-80 +120-115 = 52.600 руб.
Доля каждой бумаги в портфеле равна соответственно:
m
стр. 89
230:120—0,525, ^ — 0,213, 120:115 — 0,262.
52.600 52.600 52.600
Остальные параметры определяются в соответствии с соотношениями (159)-(161):
— 16,4 • 0,525 + 14,5 • 0,213 + 18,7 • 0,262 — 16,6% ,
16,4 • 230 • 120 • 5,6 +14,5 • 140 • 80 • 3,2 +18,7 • 120 •115-10
D — ———————— ——— —————— ——— ———————- — 17,2%,
D 230 • 120 • 5,6 +140 • 80 • 3,2 +120 •115 •Ю
— 5,6 • 0,525 + 3,2 • 0,213 +10 • 0,262 — 6,24 лет .
Можно также рассчитать приближенное значение модифицированной дюрации:
6,24
MD ———- — 5,33 лет .
1,17
Пример 80. В условиях предыдущего Примера найти изменение цены портфеля, если доходности облигаций изменятся и станут соответственно: 16,9%, 14,7%, 19,4%.
Решение. При изменении доходности каждой облигации (соответственно на 0,5%, 0,2% и
0, 7%) суммарное изменение доходности портфеля в соответствии с весами каждой бумаги будет:
Ai * 0,5 • 0,525 + 0,2 • 0,213 + 0,7 • 0,262 — 0,49%.
Цена портфеля в соответствии с (154) изменится на
MD • P •Ai 5,33 • 52600 • 0,49
AP *———————- — —^—————— г— —-1374 руб.,
100 100
то есть упадет на 1374 руб.
Пример 81. Портфель облигаций содержит три вида облигаций и имеет следующую структуру.
| Облигация | Кол-во | Рыноч.
Цена (руб.) |
Сумма
(руб.) |
Доля в портфеле | Номинал
(руб.) |
Срок
(лет) |
Куп.
доход |
Выплат в году |
| 1 | 200 | 100 | 20.000 | 0,506 | 100 | 3 | 11% | 1 |
| 2 | 150 | 90 | 13.500 | 0,342 | 100 | 6 | 12% | 1 |
| 3 | 50 | 120 | 6.000 | 0,152 | 340 | 7 | — | — |
| Цена портфеля 39.500 | ||||||||
| Найти точные значения доходности и дюрации портфеля. Сравнить с приближенными значениями.
Решение. Потоки денежных средств по годам имеют следующий вид. |
| Годы: | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | Доход
ность |
Дюрация
(лет) |
| Облиг.1 | -20.000 | 2.200 | 2.200 | 2.200+20.000=2
2.200 |
11% | 2,71 | ||||
| Облиг.2 | -13.500 | 1.800 | 1.800 | 1.800 | 1.800 | 1.800 | 1.800+15.000=
16.800 |
14,62% | 4,52 | |
| Облиг.3 | -6.000 | 17.000 | 16,04% | 7 | ||||||
| Суммарный поток | -39.500 | 4.000 | 4.000 | 24.000 | 1.800 | 1.800 | 16.800 | 17.000 | 13,81% | 4,1 |
| Точное значение доходности портфеля i= 13,81%. |
| стр. 90 |
| Дюрация (точное значение) определяется по формуле: |
| D = |
| 1 |
| + 6 |
| 39.5000
1800 |
| ‘1—4™ + 2- |
| 4000 |
| + 7 |
| 1,1381
1700 |
| — + 3- |
| 24.000 |
| +4 |
| 1800 |
| +5 |
| 1800 |
| (1,1381)2 (1,1381)3 (1,1381)4 (1,1381)5 |
| + |
| Л |
| = 4,1 лет. |
| (1,1381)6 (1,1381)’
Вычисления по приближенным формулам (159)-(161) приводят к значениям: <i) = 11 — 0,506 + 14,62 — 0,342 + 16,04 — 0,152 = 13%, 11-200-100-2,71 +14,62-150-90-4,52 +16,04-50-120-7 <i) D =———————————————————————————————————- — ——————————————————————————————————————— — ——————————————————————————————————————— = 13,75%, D 200-100-2,71 +150-90-4,52 + 50-120-7 <D) = (2,71 • 0,506 + 4,52 — 0,342 + 7 — 0,152) = 3,98 лет . |
| стр. 91 |