Be-in-Profit.ru

Pg = Pc + Ct.                                                                                                      (125)

При этом считается, что купонный доход Ct растет равномерно (линейно) между двумя последовательными выплатами купона:

C, = — • ^ = — • T ,                                                                                            (126         )

ml ml

где T — купонный период (время между двумя последовательными купонными выплатами),

11    — время (в годах), оставшееся до выплаты ближайшего купона, t1 — время, прошедшее после выплаты последнего купона, или время, прошедшее со дня выпуска облигации (если

1 Накопленный купонный доход обозначается часто AI (от английского accrued interest).
стр. 75

купонные выплаты еще не производились). Отметим, что величина купонного периода,

0/»Г

выраженная в днях, отличается от величины — на несколько дней. Это связано с уста-

m

новлением точной даты купонной выплаты. Если купонный период T выражен в годах, то

приближенно можно записать т и — .

m

Аналогично можно определить курсовую стоимость по отношению к грязной и чис­той цене (Kg , Kc):

или

Кг = Kc +100 • g-T-A.,                                                                                              (127)

g                           m T

К = К +100-.                                                                                         (128)

g c m T

g T — t                           g t

Величина 100 • ———————————- 1 = 100- — -— представляет собой накопленный купонный до-

rn T                               m T

ход, выраженный в процентах от номинала.

Пример 62. Чистая цена облигации с фиксированным купоном равна 894,40 рублей. Вы­платы купонов производятся 1 раз в году, годовой купонный доход равен 280 рублей. Ка­кую цену должен заплатить покупатель облигации (не считая комиссионных выплат бро­керу), если со времени выплаты последнего купона прошло 78 дней.

Решение. Накопленный купонный доход равен:

78

280———- = 59,84руб.

365

Цена покупки (грязная цена облигации):

Pg = 894,40 + 59,84 = 954,24руб.

Пример 63. Какую цену заплатит покупатель облигации (не считая комиссионного возна­граждения брокеру), если до выплаты ближайшего купона осталось 93 дня. Номинал об­лигации 1200 руб., чистый курс облигации 95,75 , годовой купонный доход равен 17,5% от номинала, выплата купонов производится 2 раза в году и купонный период равен 184 дня. Решение. Накопленный купонный доход (в процентах от номинала) равен:

0,                175 184 — 93

100——- •———— = 4,33.

2                  184

Грязный курс облигации 95,75+4,33=100,08. Цена покупки (грязная цена) облигации:

р = 100,08-1200 = 1200,96руб. g 100 ’

Пример 64. Определить грязную цену облигации с фиксированным купоном, купленной 14 апреля 1999 года, если чистая цена равна 845,60 руб., годовой купонный доход равен 165 руб., выплата купонов производится 2раза в году, дата погашения 25 января 2007 года.
стр. 76

Решение. От момента предыдущей выплаты купона (или даты размещения облигации, если выплаты купонов еще не производились) — 25 января 1999 года — до даты расчета —

14     апреля 1999 года — прошло t1 = 79 дней. Купонный период (между 25 января 1999 года и 25 июля 1999 года) равен T =181 день. Накопленный купонный доход, согласно (126), ра­вен

165 — — = 36,01 руб.

2        181

Грязная цена облигации

Р8 = 845,60 + 36,01 = 881,61 руб.

Курс облигации, купленной не в начале купонного периода, связан с доходностью соотношением

K+ 8-T -11 = 8-У—1— + —1— ,                                                                                           (129)

100 m T m t! (1 + i f (1 + i f

где tk — время (в годах) от начала покупки до выплаты k -го купона. В момент времени tn происходит выплата последнего купона и погашение номинала. Всего с момента покупки до погашения происходит n купонных выплат.

Левая часть соотношения (129) пропорциональна грязной курсовой стоимости обли­гации, а правая часть представляет доходы, дисконтированные к моменту покупки облига­ции.

Если выплаты купонов происходят m раз в году, то часто вместо эффективной про­центной ставки i пользуются номинальной процентной ставкой j при условии начисления процентов m раз в году. Тогда, вместо (129) можно записать:

£с_+8 — LSl = 8-у__________________________________________________________ 1_______________________________________________________________________ +________________________________________________________________________ 1________________________________________________________________________ ,____________________________________________________________________ (130)

100 m T m                         k=1f : \ TT+k-1         i ,■ л 7+n-1

1+ ^1                 |1 + ^-

m)                ^ m

где n — всего купонных выплат до погашения облигации.

Пример 65. Облигация с фиксированным купоном приобретена 31 марта 1998 года, дата погашения 31 декабря 2000 года. Выплата купонов производится один раз в году из рас­чета 12% от номинала. Ставка альтернативной доходности равна 16%. Найти чистую курсовую стоимость облигации и накопленный купонный доход (в процентах от номина­ла). Считать в году 360 дней (30 дней в месяце).

Решение. Так как до выплаты ближайшего купона осталось t1 =0,75 лет (9 месяцев), 8=0,12 , Т = 1 год, то накопленный купонный доход в соответствии с (126) равен

0,           12 1 — 0,75

100—————- — = 3.

11

Чистый курс облигации определяется с помощью соотношения (129)

стр. 77

Kc + 3 = —
12
12
12
100

(1 + 0,16)             (1 + 0,16) (1 + 0,16)2,75 (1 + 0,16)2

откуда Kc — 91,46.

= 94,46,

Ряды, стоящие в правых частях соотношений (129) и (130) представляют собой гео­метрическую прогрессию. В случае когда происходит много купонных выплат, для удоб­ства вычислений данные ряды можно просуммировать.

Если купонные выплаты происходят один раз в год, то суммирование геометриче­ской прогрессии в (129) приводит к выражению:

100
+ g •(!- t1) — (1 + i)1 4 •
&•
1 -(1 + i)-
— +
1
(1+i)n
(131)

Напомним, что ^ — время (в годах), оставшееся до выплаты ближайшего купона, n — количество купонных выплат, оставшихся до погашения облигации.

В свою очередь, если выплаты происходят m раз в год, и мы пользуемся номиналь­ной процентной ставкой j (при условии начисления процентов m раз в году), то суммиро­вание в (130) приводит к соотношению:

100 m T
m
if+

f1 — s.A

j

1 + f m
(132)
Если мы используем эффективную процентную ставку, то в соответствии с (11) мож­но преобразовать (132) и получить выражение:
K

c + g T — t1

+—— ——- •

100 m T
— (1 + i )m m-T
g 1 -(1 +i)-
m
(1 + i)m — 1       (1 + i )
(133)
Пример 66. Облигация с фиксированным купоном приобретена 31 августа 1998 года, да-
та погашения 30 ноября 2007 года. Выплата купонов производится один раз в году из рас-
чета 15% от номинала. Найти чистый курс облигации и накопленный купонный доход (в
процентах от номинала), если доходность облигации равна 18,5%. Считать в году 360
дней (30 дней в месяце).Решение. Так как до выплаты ближайшего купона осталось t1 =0,25 лет (3 месяца),
g=0,15 , Т = 1 год, то накопленный купонный доход в процентах от номинала, в соответ-
ствии с (127), равен100 • 0-5 •1 — 0’25 —11,25.

Чистый курс облигации определяется с помощью соотношения (131):

1-(1 + 0,185)-10                  100

Kc +11,25 — (1 + 0,185)
15 •
0,185
(1 + 0,185)
— 96,02 ,
стр. 78
1-tL
П
T
1
+

откуда Kc = 84,77.

Пример 67. Облигация с фиксированным купоном приобретена 18 октября 1998 года, чистая цена облигации 1021,77 руб. Годовой купонный доход 210 руб., номинал 1000 руб., выплата купонов производится один раз в году, дата погашения 13 января 2002 года. Найти накопленный купонный доход. Какую цену должен заплатить покупатель облига­ции (не считая комиссионных вознаграждений брокеру)?

Решение: Последняя купонная выплата производилась 13 июля 1998 года, поэтому купон­ный период (количество дней между 13 июля 1998г. и 13 января 1999г.) равен Т= 184 дней, со времени последней выплаты купона прошло (количество дней между 13 июля 1998г. и 18 октября 1998г.) t=97 дней. Согласно (127) накопленный купонный доход равен:

=   210 ‘                                      =             55,35руб.

2          184

Покупатель облигации в целом выплачивает грязную цену облигации: 1021,77+55,35=1077,12 руб.

Пример 68. Решить предыдущий Пример в предположении, что выплаты купонов проис­ходят 2 раза в году.

Решение. Купонный период равен Т=0,5 лет, t1 =0,25 лет, m=2, всего количество выплат до погашения n=19. Накопленный купонный доход (в процентах от номинала):

0,           15 0,5- 0,25

100 ■——————————- —        — = 3,75.

2                  0,5

Чистый курс облигации определяется с помощью соотношения (133):

(                                    19                              Л

Kc + 3,75 = (1 + 0,185)

откуда Kc = 87,78.

1

—0,25

2

15        1 -(1 + 0,185)- 2                100

2                           1                                19

2   (1 + 0,185)2 — 1             (1 + 0,185) )

= 91,53 ,

Пример 69. Облигация с фиксированным купоном приобретена 20 февраля 1998 года, да­та погашения 15 октября 2008 года. Выплата купонов производится два раза в году из расчета 14% от номинала. При каком значении чистого курса облигации доходность к погашению составит 19,25% (номинальная процентная ставка при условии начисления процентов 2 раза в году).

Решение. Купонный период (между 15 октября 1997 года и 15 апреля 1998 года) равен Т= 182 дня. До выплаты ближайшего купона (дата выплаты 15 апреля 1998 года) со дня расчета (20 февраля 1998 года) осталось t1 =54 дня. Накопленный купонный доход (в про­центах от номинала)

14 182 — 54

—————— = 4,923.

2           182

Количество выплат в году m=2, всего количество выплат до погашения n=22.

Чистый курс облигации определяется с помощью соотношения (132):

,,        ,             L 0,1925 Л1-^               f 0,14          (            0,14 Л   L       0,1925 Л-22 ]                _

Kc + 4,923 = |1 +—————- I ■<-------------------- + |1------------------ М1 + I !> = 81,436,

c                      ^            2      |              f 0,1925       ^          0,1925)                            ^  2            ) J

стр. 79

откуда Kc — 76,51.