Облигации с фиксированным купоном

Облигации с фиксированным купоном

Примерами облигаций с фиксированным купоном и погашением номинала в России являются облигации внутреннего валютного займа (ОВВЗ), выпускаемые с 1993 года, об­лигации Федерального займа с постоянным доходом (ОФЗ-ПД).

Доход по данным облигациям складывается из периодических купонных выплат и выплаты номинальной стоимости в конце срока. Доходы по купонам выплачиваются, как правило, один или два раза в год.

Таким образом, современная стоимость облигации с фиксированным купоном скла­дывается из современной стоимости аннуитета и современной стоимости номинала. Если выплаты купонов происходят ежегодно, то рыночная цена облигации равна

1 _(1 + i)~n N                                                                                     /110.

P = C —- + 7Г-Г ■                                                                                              (112)

‘               (1+j)

где С — годовой купонный доход (в рублях), N — номинал облигации (в рублях), n — срок облигации (в годах), i — доходность к погашению или ставка дисконтирования.

Курс облигации (при ежегодной выплате купонного дохода) определяется выражени­ем:

(
K = 100 —
1 _(1+i)_n ——— +
(1 + if
(113)
1
Соотношения (112), (113) связывают стоимость облигации или курс с доходностью к погашению. Если известна доходность i , то курс можно определить с помощью соотноше­ния (113). Обратная задача — определение доходности по курсу — в общем виде аналитиче­ски неразрешима. Поэтому доходность к погашению облигаций с фиксированным купоном находят с помощью численного решения уравнений (112) или (113).
стр. 7 1

Укажем на следующие особенности облигаций с постоянным купоном. Если облига­ция приобретена по номиналу (по курсу 100), то доходность к погашению i равна ставке купонного дохода g. Если облигация приобретена с дисконтом (по курсу меньше 100), то доходность к погашению больше купонного дохода (i > g). Если же облигация приобрете­на с премией (K > 100), то доходность к погашению меньше купонного дохода (i < g). В последнем случае (при покупке с премией) владелец облигации также может получить до­ход, если не произойдет досрочного выкупа облигации эмитентом. Если купонные выплаты происходят несколько раз в году, то часто для финансовых расчетов используется номинальная процентная ставка доходности j при условии начис­ления процентов m раз в году (m - количество выплат купонного дохода в году). Если го­довой купонный доход равен С, а выплаты происходят m раз в году, то каждый раз выпла­чивается сумма, равная £.. Всего за весь срок облигации (п лет) будет произведено п • m m купонных выплат. Стоимость облигации с фиксированным доходом связана с номинальной ставкой до­ходности соотношением: P = C • N 1     + j m (114) + Аналогично можно записать для курса облигации: K = 100 • 1-11+ m. 1 + j (115) mJ J 1 + Если используется эффективная ставка доходности, то в соответствии с (11) можно преобразовать последние выражения, которые при этом примут вид: C 1-(1 + i)-n             N P ----------- , '             +- m (1 + i) -1 (1 +i)n (116) K = 100 • (g 1 -(1+i)-n +                      ^ m (1+i)m -1 (1+i) (117) Пример 56. Срок облигации с фиксированным купоном равен 7 годам. Купонный доход вы­плачивается ежегодно по норме 12% от номинала в год. Найти курс облигации, если ставка дисконтирования принята равной 16 %. Решение. стр. 72 K = 100-f 0,12 -1 -(1 + 0-16) + (                       1      )7 1 = 83,85. I 0,16                                   (1+0,16)’ J Пример 57. В условиях предыдущего Примера найти курс облигации, если купонный доход выплачивается 2 раза в году. Ставку дисконтирования считать эффективной. Решение. Согласно (117), курс облигации равен: ( K = 100 - 0,12 1 -(1 + 0,16) гу           1 2 (1 + 0,16)2 (1 + 0,16)7 = 85,71. Пример 58. Годовой купонный доход облигации равен 240 руб., дивиденды выплачиваются 4 раза в год, номинал облигации равен 1300 руб., срок до погашения 6 лет. Найти цену об­лигации, если ставка помещения (номинальная процентная ставка при условии начисления процентов 4 раза в год) равна 14,47 %. Решение. Согласно (114) цена облигации равна: P = 240 -- 1 -I 1 + 0,1447 4 0,1447 + 1300 1+ 0,1447 4 = 1505,77руб. Часто используют простую процентную ставку доходности для облигаций с фикси­рованным купоном. Напомним, что при начислении дохода по простой процентной ставке, доход каждый раз начисляется на первоначальную сумму, то есть предполагается, что до­ходы по процентам не реинвестируются. Поэтому можно записать: P -( + П - 1п р ) = N + n - C (118) откуда можно получить i = п р +1 f1 -— N + n - C Л 1          .       N - P       8 + n 'I 100 -1 |-- = i, + P n - P K 100 (119) Обратно, если известна доходность облигации, рассчитанная по формуле простой доходности, то текущая рыночная цена облигации определяется как P = N + n - C 1 + n - 1п р (120) а курс облигации равен: K = 100 - (121) стр. 73 1 24 24 n Отметим, что доходность, рассчитанная с использованием простого процента (про­стая доходность) imр, в некоторых случаях может сильно отличаться от доходности, рас­считанной с использованием сложного процента i. Полная доходность i совпадает с простой 1пр, если облигация куплена по номиналу (K=100). В этом случае i = р = it = g. Также i = i , если срок облигации равен одному году (п=1). Если облигация куплена с дисконтом (K<100), то выполняются следующие неравен­ ства: g < it < i < inр ,                                                                                                                                                 (122) а если с премией (K>100), то
g > i >i > L.                                                                                                   (123)
Если срок облигации равен нескольким годам, то пользуются также другой прибли-
женной формулой:

N — P         1 (л K >

c +———— g + _v-wJ

~________ П_________ n___________ 100 J                                                                      (124)

1   = N + P =                     1   (1 KЛ    V 7

2                               2 V 100.

Соотношение (124) отличается от (119) тем, что в (124) в знаменателе фигурирует не
цена облигации, а средняя арифметическая между начальной ценой облигации P и конеч-
ной ценой N.

Пример 59. Облигация с фиксированным купоном, равным 20% от номинала и выплачи-
ваемым ежегодно, куплена по курсу 90. Срок облигации 10 лет. Какова доходность к по-
гашению? Найти также простую доходность и доходность по приближенной формуле
(124).

Решение. Численное решение уравнения (113) относительно i приводит к следующему ре-
зультату: i=22,6%.

Простая доходность и доходность по приближенной формуле находятся в соответствии
с (119) и (124):

0,2 + ^ (1 — 0,9)

Ч    =———- 109———— = 0,2333 , или inр = 23,33% .

0,2 + -1 •( — 0,9)

г = ■
10                            = 0   221      ,    или  ~   = 22,1%
2- (1+0,9)
стр. 74

В данном случае лучшим приближением для i является доходность i , посчитанная по приближенной формуле (124).

Пример 60. Доходность облигации с фиксированным купоном равна 17,5%, срок облигации 8 лет, годовая купонная ставка равна 13%. Найти текущий курс облигации с использова­нием простого процента.

Решение. Согласно (121) курс облигации, посчитанный в предположении простых про­центных ставок, равен:

K = 100 — 1 + 8 — 0,13 = 85.

1              + 8 — 0,175

Пример 61. Номинал облигации с фиксированным купоном равен 1200 руб., годовой купон­ный доход составляет 180 руб., срок облигации 9 лет. По какой цене следует приобрести облигацию, чтобы простая доходность составила не менее 17%?

Решение. Согласно (120) рыночная цена облигации равна

„      1200   + 9-180                          „

P =——————— = 1114,62 руб.

1 + 9 — 0,17

Облигацию следует приобрести по цене не выше 1076,34руб.